Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

2

2

），F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，且F₁、F₂距离为2．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P₁，P₂两点（P₁在P₂的左侧），P₁F₁和P₂F₂都是圆的切线，且P₁F₁⊥P₂F₂？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

1 a2 + 1 2b2 =1 2c=2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆

x2

2

+y2=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是两个交点，由圆和椭圆的对称性，知x2=-

x

1

，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，从而得到-（x₁+1）²+y12=0，由此能求出存在满足条件的圆，其方程为：x2+(y-

5

3

)2=

32

9

．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

2

2

），
F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，且F₁、F₂距离为2，
∴

1 a2 + 1 2b2 =1 2c=2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆

x2

2

+y2=1相交，
P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是两个交点，y₁＞0，y₂＞0，
F₁P₁，F₂P₂是圆C的切线，且F₁P₁⊥F₂P₂，
由圆和椭圆的对称性，知x2=-

x

1

，y₁=y₂，
|P₁P₂|=2|x₁|，
由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0），
所以

F1P1

=（x₁+1，y₁），

F2P2

=（-x₁-1，y₁），再由F₁P₁⊥F2P2 ，
得-（x₁+1）²+y12=0，
由椭圆方程得1-

x12

2

=（x₁+1）²，即3x12+4x1=0，
解得x1=-

4

3

或x₁=0．
当x₁=0时，P₁，P₂重合，此时题设要求的圆不存在．
当x1=-

4

3

时，过P₁，P₂分别与F₁P₁，F₂P₂垂直的直线的交点即为圆心C，
设C（0，y₀），由CP₁⊥F₁P₁，得

y1-y0

x1

•

y1

x1+1

=-1，
而y₁=|x₁+1|=

1

3

，故y0=

5

3

，
圆C的半径|CP₁|=

(- 4 3 )2+( 1 3 - 5 3 )2

=

4 2

3

．
综上，存在满足条件的圆，其方程为：x2+(y-

5

3

)2=

32

9

．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．