Question

已知等比数列{a_n}中，a₅+2a₄=a₂a₄，前2m（m∈N^*）项和是前2m项中所有偶数项和的

3

2

倍．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）已知{b_n}满足b_n=（n-λ）a_n（n∈N^*），若{b_n}是递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用前2m（m∈N^*）项和是前2m项中所有偶数项和的

3

2

倍，求出公比，利用a₅+2a₄=a₂a₄，求出a₁，即可求通项a_n；
（Ⅱ）利用

bn+1

bn

=

2(n+1-λ)

n-λ

＞1，即可求实数λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设公比为q，则
∵前2m（m∈N^*）项和是前2m项中所有偶数项和的

3

2

倍，
∴

a1(1-q2m)

1-q

=

3

2

•

a1q[1-(q2)m]

1-q2

，
∴q=2，
∵等比数列{a_n}中，a₅+2a₄=a₂a₄，
∴a₁q⁴+2a₁q³=a₁q•a₁q³，
∴a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=（n-λ）2ⁿ，则

bn+1

bn

=

2(n+1-λ)

n-λ

＞1，
∴λ＜n，
∴λ≤1．

点评：本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．