Question

9．已知f（x）是定义在R上的奇函数恒满足，且对任意实数x恒满足f（x+2）=-f（x） 当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）计算${∫}_{0}^{4}$f（x）dx 的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数周期的定义进行证明即可．
（2）由f（x）最小正周期为4，知当x∈[2，4]时，有f（-x）=f（-x+4），根据奇函数的性质推知f（x）=-f（-x），由此得到f（x）的解析式；
（3）利用定积分的计算公式解答．

解答 （1）证明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：x∈[2，4]，则-x∈[-2，-4]，-x+4∈[0，2]，
∵函数f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（-x）=f（-x+4）=2（4-x）-（4-x）²
又因为f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=x²-6x+8．
（3）解：${∫}_{0}^{4}$f（x）dx
=${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）dx+${∫}_{2}^{4}$（x²-6x+8）dx
=（$-\frac{1}{3}$x³+x²）|$\left.\begin{array}{l}{2}\\{0}\end{array}\right.$+（$\frac{1}{3}$x³-3x²+8x）|$\left.\begin{array}{l}{4}\\{2}\end{array}\right.$
=$-\frac{1}{3}$×2³+2²+$\frac{1}{3}$×4³-3×4²+8×4-$\frac{1}{3}$×2³+3×2²-8×2
=0．

点评 本题考查函数的周期性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．