Question

11．已知函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）$，$g（x）=cos（x-\frac{π}{2}）$，则下列结论中正确的是（　　）

• A． 函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2π
• B． 函数y=f（x）•g（x）的最大值为1
• C． $x=\frac{π}{2}$是函数y=f（x）•g（x）的图象的一条对称轴
• D． 函数y=f（x）•g（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$是单调增函数

Answer 1

分析 利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、最值、图象的对称性、单调性，得出结论．

解答 解：∵函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）$，$g（x）=cos（x-\frac{π}{2}）$，
∴函数y=f（x）•g（x）=cosx•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，
故它的周期为$\frac{2π}{2}$=π，故排除A；再根据它的最大值为$\frac{1}{2}$，故排除B；
令x=$\frac{π}{2}$，可得y=0，可得函数的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称，故跑出C；
由于在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故函数y为增函数，故D正确，
故选：D．

点评 本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性、最值、图象的对称性、单调性，属于基础题．