题目内容
已知圆E与x轴相切，圆心在y轴正半轴上，且被直线x-y=0截得的弦长为2
．
（1）求圆E 标准方程；
（2）过定点P（-3，0）的直线交圆E于不同的两点M，N，在线段MN上取异于M，N的点H（x0，y0），满足
=
，试求点H的横坐标x0的取值范围．
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（1）求圆E 标准方程；
（2）过定点P（-3，0）的直线交圆E于不同的两点M，N，在线段MN上取异于M，N的点H（x0，y0），满足
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考点：直线和圆的方程的应用
专题：直线与圆
分析：（1）求出圆心到直线x-y=0的距离，即可求出b，从而可得圆E标准方程；
（2）由已知直线MN的斜率一定存在，设为k，则其方程为y=kx+3k，联立方程消去y，P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，则
=
，可转化为
=
，求出x0=-
=-3+
，即可求点H的横坐标x0的取值范围．
（2）由已知直线MN的斜率一定存在，设为k，则其方程为y=kx+3k，联立方程消去y，P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，则
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| ||
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| ||
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| x1+3 |
| x2+3 |
| x0-x1 |
| x2-x0 |
| 6k |
| 2k+3 |
| 9 |
| 2k+3 |
解答：
解：（1）由已知可设圆E的圆心（0，b），则半径为b．
∵圆心到直线x-y=0的距离d=
=
，
解得b2=4，b=-2（舍去），b=2，
∴圆E的标准方程为x2+（y-2）2=4．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），
由已知直线MN的斜率一定存在，设为k，则其方程为y=kx+3k，
联立方程消去y，得（1+k2）x2+2k（3k-2）x+（3k-2）2-4=0，
于是x1+x2=-
，x1x2=
．①
又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，
则
=
，可转化为
=
，
将①代入整理得：x0=-
=-3+
，
由
＜2，可解得0＜k＜
，
于是可得-
＜x0＜0，满足-2＜x0＜2，
∴-
＜x0＜0．
∵圆心到直线x-y=0的距离d=
b2-(
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| |b| | ||
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解得b2=4，b=-2（舍去），b=2，
∴圆E的标准方程为x2+（y-2）2=4．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），
由已知直线MN的斜率一定存在，设为k，则其方程为y=kx+3k，
联立方程消去y，得（1+k2）x2+2k（3k-2）x+（3k-2）2-4=0，
于是x1+x2=-
| 2k(3k-2) |
| 1+k2 |
| (3k-2)2-4 |
| 1+k2 |
又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，
则
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| ||
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| ||
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| x1+3 |
| x2+3 |
| x0-x1 |
| x2-x0 |
将①代入整理得：x0=-
| 6k |
| 2k+3 |
| 9 |
| 2k+3 |
由
| |-2+3k| | ||
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| 12 |
| 5 |
于是可得-
| 24 |
| 13 |
∴-
| 24 |
| 13 |
点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
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B、
| ||
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D、
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
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