Question

在数列a_n中，已知a₁=a₂=1，a_n+a_n+2=λ+2a_n+1
（1）证明a₁，a₄，a₅成等差数列；
（2）设C_n=2^a_n+2-a_n ，求数列{C_n}的前n项和为S_n
（3）当λ≠0时，数列{a_n-1}中是否存在三项a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，若存在，求出s，t，p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=a₂=1，a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，依次求出a₃、a₄、a₅，由等差数列的定义证明a₁，a₄，a₅成等差数列；
（2）由a_n+a_n+2=λ+2a_n+1得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+λ，令b_n=a_n+1-a_n，由等差数列的定义证明数列{b_n}是等差数列，由通项公式求出b_n即a_n+1-a_n的式子，再求出a_n+2-a_n后代入C_n=2^a_n+2-a_n 化简，对λ分类讨论后由等比数列的前n项和公式求出S_n；
（3）由（2）知a_n+1-a_n=（n-1）λ，利用累加法求出a_n，假设存在三项a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，利用等比中项的性质列出方程，化简后退出矛盾即可．

解答： 证明：（1）由题意得，a₁=a₂=1，a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，
则a₃=λ+2a₂-a₁=λ+1，
同理，a₄=λ+2a₃-a₂=3λ+1，a₅=λ+2a₄-a₃=6λ+1，
因为a₄-a₁=3λ，a₅-a₄=3λ，所以a₄-a₁=a₅-a₄，
即a₁，a₄，a₅成等差数列；
解：（2）由a_n+a_n+2=λ+2a_n+1得，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+λ，
令b_n=a_n+1-a_n，则b_n+1-b_n=λ，且b₁=a₂-a₁=0，
所以数列{b_n}是以0为首项、λ为公差的等差数列，
则b_n=b₁+（n-1）λ=（n-1）λ，即a_n+1-a_n=（n-1）λ，
因为a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，所以a_n+2-a_n=2（a_n+1-a_n）+λ=（2n-1）λ，
所以C_n=2^a_n+2-a_n =2^（2n-1）λ，
则S_n=c₁+c₂+…+c_n=2^λ+2^3λ+…+2^（2n-1）λ，
当λ=0时，S_n=n，
当λ≠0时，S_n=

2λ(1-22nλ)

1-22λ

；
（3）由（2）知，a_n+1-a_n=（n-1）λ，当n≥2时，
则a₂-a₁=0，a₃-a₂=λ，a₄-a₃=2λ，…，a_n-a_n-1=（n-2）λ，
以上（n-1）个式子相加得，a_n-a₁=

(n-1)[0+(n-2)λ]

2

=

(n-1)(n-2)λ

2

，
所以a_n=a₁+

(n-1)(n-2)λ

2

=1+

(n-1)(n-2)λ

2

，
当n=1时，也适合上式，
则a_n=1+

(n-1)(n-2)λ

2

，
假设存在三项a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，
则(at+1-1)2=(as+1-1)(ap+1-1)，即

t2(t-1)2

4

=

s(s-1)(p-1)

4

，
因为s，t，p也成等比数列，所以t²=sp，代入上式化简得，（t-1）²=（s-1）（p-1），
即2t=s+p，联立t²=sp，解得s=p=t，
这与题设矛盾，故不存在三项a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比数列，且s，t，p也成等比数列．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，等差数列的定义、通项公式，等比数列的前n项和公式等，考查累加法、分类讨论思想、化简能力，以及存在性问题．