题目内容
在平面直角坐标系中，O为原点．A（0，sinα），B（2cosα，0），动点C满足|
|=1，|
+
+
|的最大值是（ ）
| AC |
| OA |
| OB |
| OC |
| A、9 | B、8 | C、4 | D、3 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由于动点C满足|
|=1，所以C在以A（0，sinα）为圆心的单位圆上，故设C（cosθ，sinθ+sinα），利用向量模的平方等于向量的平方，将|
+
+
|2写成关于θ的三角函数解析式，利用余弦函数的有界性求最值．
| AC |
| OA |
| OB |
| OC |
解答：
解：∵|
|=1，
∴C在以A（0，sinα）为圆心的单位圆上，故设C（cosθ，sinθ+sinα），
∴|
+
+
|2=（2cosα+cosθ）2+（sinα+sinθ+sinα）2=sin2θ+cos2θ+4cosαcosθ+4sinαsinθ+4=4cos（α-θ）+5≤9，
∴原式最大值为3；
故选：D．
| AC |
∴C在以A（0，sinα）为圆心的单位圆上，故设C（cosθ，sinθ+sinα），
∴|
| OA |
| OB |
| OC |
∴原式最大值为3；
故选：D．
点评：本题考查了向量的模与向量的平方相等以及利用三角函数的有界性求最值，属于中档题．
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| ||
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|
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