Question

如图．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为B₁D₁的中点．求证：
（Ⅰ）AO∥面BC₁D；
（Ⅱ）AO⊥BD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC与BD交于G点，连接OC₁，GC₁，由OC₁∥AG，OC₁=AG，可得OA∥GC₁，从而可证OA∥平面C₁BD．
（Ⅱ）连接OO₁，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为B₁D₁的中点，得到OO₁⊥平面ABCD，由线面垂直的性质得到OO₁⊥BD，结合AC⊥BD，可得BD⊥平面AOO₁，再由线面垂直的性质可证．

解答： 证明：（Ⅰ）连接AC，BD交于G点，连接OC₁，GC₁，

∴在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，OC₁∥AG，OC₁=AG，
∴四边形OC₁AG为平行四边形，
∴OA∥GC₁，
又GC₁?平面C₁BD，OA?平面C₁BD，
∴OA∥平面C₁BD．
（Ⅱ）连接OO₁，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为B₁D₁的中点，
∴OO₁⊥平面ABCD，
∴OO₁⊥BD，
又∵AC⊥BD，
∴BD⊥平面AOO₁
∴AO⊥BD．

点评：本题考查了正方体性质的运用以及线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的运用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．