Question

已知

m

=（cos（

π

3

+x），0），

n

=（cos（

π

3

-x），2），函数f（x）=

m

•

n

，g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知，利用向量的数量积求出函数f（x）的解析式化简求周期；
（Ⅱ）求出函数h（x）=f（x）-g（x）的解析式化简求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，f（x）=

m

•

n

=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）=（

1

2

cosx-

3

2

sinx）（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，所以f（x）的最小正周期为

2π

2

=π；
（Ⅱ）函数h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

cos（2x+

π

4

），当2x+

π

4

=2kπ，k∈Z时，h（x）取最大值为

2

2

，此时x=kπ-

π

8

，所以h（x）取最大值时x的集合为{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}．

点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算以及三角函数解析式的化简，正确利用两角和与差的关系式以及倍角公式化简解析式为最简形式是关键．