Question

已知向量

m

=（2sinx，2），

n

=（sin（x+

π

3

），cos²x）．记f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的数量积运算得到f（x）的解析式化简为一个角的一个三角函数的形式，然后解答

解答： 解：（Ⅰ）由已知f（x）=2sinxsin（x+

π

3

）+2cos²x=2sinx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）+2cos²x=sin（2x+

π

6

）+

3

2

；
所以函数y=sinx的单调递减区间为2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，所以sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
f（x）的值域为[

3- 3

2

，

5

2

]．

点评：本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的恒等变形，关键是正确数量积的坐标运算以及正确熟练运用三角函数关系式化简函数解析式，然后求相关的性质．