Question

已知点A，B，C，D的坐标分别为A（1，0），B（0，1），C（cosα，sinα），α∈[0，2π）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

AC

=

1

3

，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,向量的模,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用向量的数量积及向量模的运算性质可求得tanα=1，α∈[0，2π），从而可得答案；
（2）由

AC

•

BC

=

1

3

⇒sinα+cosα=

2

3

，等号两边平方可得2sinαcosα=-

5

9

，将所求关系式中的弦化切即可求得答案．

解答： 解：（1）

AC

=(cosα-1，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-1)，
由|

AC

|=|

BC

|，
得

(cosα-1)2+sin2α

=

cos2α+(sinα-1)2

，
即

2-2cosα

=

2-2sinα

，
∴cosα=sinα，
∴tanα=1，
又α∈[0，2π），α=

π

4

或

5π

4

；
（2）由

AC

•

BC

=

1

3

，
得(cosα-1)cosα+(sinα-1)sinα=

1

3

，
∴sinα+cosα=

2

3

．
上式两边平方得1+2sinα+cosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

5

9

．
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，考查平面向量数量积的运算，属于中档题．