题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，-3），离心率为
．
（1）求椭圆方程；
（2）过点A（0，1）且斜率为k的直线l交椭圆于M、N两点，求证：BM⊥BN．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆方程；
（2）过点A（0，1）且斜率为k的直线l交椭圆于M、N两点，求证：BM⊥BN．
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由椭圆
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，-3），离心率为
，可得b=3，
=
，又a2=b2+c2．解出即可．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为y=kx+1．与椭圆的方程联立，利用数量积运算、根与系数的关系即可得出．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为y=kx+1．与椭圆的方程联立，利用数量积运算、根与系数的关系即可得出．
解答：
解：（1）∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，-3），离心率为
，
∴b=3，
=
，又a2=b2+c2．
解得c=3，a2=18．
∴椭圆的方程为
+
=1．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
直线l的方程为y=kx+1．
联立
，化为（1+2k2）x2+4kx-16=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
．
∴
•
=（x1，y1+3）•（x2，y2+3）
=x1x2+（kx1+4）（kx2+4）
=（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16
=
+
+16
=0．
∴
⊥
．
∴BM⊥BN．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
∴b=3，
| c |
| a |
| ||
| 2 |
解得c=3，a2=18．
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 18 |
| y2 |
| 9 |
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
直线l的方程为y=kx+1．
联立
|
∴x1+x2=-
| 4k |
| 1+2k2 |
| -16 |
| 1+2k2 |
∴
| BM |
| BN |
=x1x2+（kx1+4）（kx2+4）
=（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16
=
| -16(1+k2) |
| 1+2k2 |
| -16k2 |
| 1+2k2 |
=0．
∴
| BM |
| BN |
∴BM⊥BN．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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