Question

已知函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（1）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；
（2）若方程f（x）=g（x）+m有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）分别求出两个函数的递增区间，取交集即可，（2）将问题转化为求h（x）=

1

4

x²-

7

4

x-

m

8

，m（x）=lnx的交点问题，只需h（x）_min≤h（

7

2

）即可，从而求出m的值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

2(x2-4)

x

，令f′（x）＞0，解得：x＞2，
g′（x）=-2x+14，令g′（x）＞0，解得：x＜7，
∴2＜x＜7，
若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，
∴

a≥2 a+1≤7

，解得：2≤a≤6，
∴a的范围是[2，6]．
（2）∵f（x）=g（x）+m，
∴

1

4

x²-

7

4

x-

m

8

=lnx，
令h（x）=

1

4

x²-

7

4

x-

m

8

，m（x）=lnx，
画出函数的图象，如图示：
，
当x=

7

2

时，m（x）=ln

7

2

，
∴只需h（x）_min=-

m

8

-

49

16

＜ln

7

2

即可，
∴m＞-

49

2

-8ln

7

2

．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查数形结合，分类讨论，本题属于中档题．