Question

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDFE；
（2）求证：FC∥平面EAD；
（3）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知得AC⊥BD，AC⊥FO，由此能证明AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面FBC∥平面EAD，由此能证明FC∥平面EAD．
（Ⅲ）由已知得△DBF为等边三角形，从而FO⊥平面ABCD，由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-FC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC中点，
又FA=FC，∴AC⊥FO，
∵FO∩BD=0，∴AC⊥平面BDEF，
（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF，∴平面FBC∥平面EAD，
又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD．
（Ⅲ）解：∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD中点，∴FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD，
由OA，OB，OF两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
设AB=2，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，
则BD=2，∴OB=1，OA=OF=

3

，
∴O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），F（0，0，

3

），
∴

CF

=（

3

，0，

3

），

CB

=（

3

，1，0），
设平面BFC的法向量

n

=(x，y，z)，
则有

n • CF = 3 x+ 3 z=0 n • CB = 3 x+y=0

，
取x=1，得

n

=(1，-

3

，-1)，
由题意知AFC的法向量为

m

=（0，1，0），
由二面角A-FC-B是锐角，
得|cos＜

n

，

m

＞|=|

- 3

5

|=

15

5

．
∴二面角A-FC-B的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．