题目内容

已知椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M（
a2
c
，0），若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于
 
．
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），几何性质，得出PQ=
2b2
a
，
再利用正三角形得出
a2
c
-c=
3
2
（
2b2
a
），即可求出离心率．
解答： 解：∵椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点
∴P（c，
b2
a
），Q（c，-
b2
a
），∵△PQM为正三角形
∴
a2
c
-c=
3
2
（
2b2
a
），
∵a2=b2+c2，
∴
c
a
=
3
3
，
故答案为：
3
3
，
点评：本题考察了直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，属于中档题，计算量不大．
练习册系列答案
相关题目
求半径为5，过点（1，2）且与x轴相切的圆的方程．
已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x-m）≤0．
（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
在长方体ABCD-A′B′C′D′中：那些棱所在的直线AA′成异面直线且互相垂直，已知AB=
3
，AA′=1，求异面直线BA′和CC′所成角的度数．
已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD，给出下列结论：①三棱锥A-BCD体积的最大值为
24
5
；
②三棱锥A-BCD外接球的表面积恒为定值；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为
16
25
；
⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为
14
5
．
其中正确的结论有
 
（请写出所有正确结论的序号）．
已知椭圆的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为
3
2
，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于异于M的不同两点A，B．直线MA、MB与x轴分别交于点E、F．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求m的取值范围；
（3）证明△MEF是等腰三角形．
一个等差数列的前20项的和为354，前20项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则该数列的公差d等于
 
．
已知函数f（x）=log2（x2+ax+a+1）为R上偶函数，g（x）=（
1
2
）x-m．
（1）若对任意x2∈[-2，-1]，都存在x1∈[0，
3
]，使得f（x1）=g（x2），求实数m的范围；
（2）若对任意x1∈[0，
3
]，x2∈[-2，-1]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的范围．
已知数列{an}，an＞0，其前n项和Sn满足Sn=
1
2
(an-1)(an+2)，其中n∈N*．
（1）求证；数列{an}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设bn=an•2-n，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜3；
（3）设cn=4n+（-1）n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

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