Question

11．不存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（　　）

• A． f（|x+1|）=x²+2x
• B． f（cos2x）=cosx
• C． f（sinx）=cos2x
• D． f（cosx）=cos2x

Answer 1

分析 若f（cos2x）=cosx，则有f（1）=1且f（1）=-1，根据函数的定义，可得结论．

解答 解：若f（|x+1|）=x²+2x=（x+1）²-1，
则f（x）=x²-1，x≥1，故存在函数f（x），使A成立；
若f（sinx）=cos2x=1-2sin²x，
则f（x）=1-2x²，-1≤x≤1，故存在函数f（x），使C成立；
若f（cosx）=cos2x=2cos²x-1，
则f（x）=2x²-1，-1≤x≤1，故存在函数f（x），使D 成立；
当x=0时，f（cos2x）=cosx可化为：f（1）=1，
当x=π时，f（cos2x）=cosx可化为：f（1）=-1，
这与函数定义域，每一个自变量都有唯一的函数值与其对应矛盾，
故不存在函数f（x）对任意x∈R都有f（cos2x）=cosx，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的定义，难度中档．