Question

3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$≥1的概率为$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 将矩形放在坐标系中，设P（x，y）利用向量的数量积公式，作出对应的区域，求出对应的面积即可得到结论．

解答 解：将矩形放在坐标系中，设P（x，y），
则A（0，0），C（2，1），
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$≥1等价为2x+y≥1，
作出不等式对应的区域，为五边形DCBE，
当y=0时，x=$\frac{1}{2}$，即E（$\frac{1}{2}$，0），
则△ADE的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$1=\frac{1}{4}$，
则五边形DCBE的面积S=2-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$，
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$≥1的概率P=$\frac{7}{8}$，
故答案为$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据向量数量积的坐标关系，求出对应区域面积，是解决本题的关键．