Question

19．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图11）．若光线QR经过△ABC的重心，则BP等于（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P₁的坐标，和P关于y轴的对称点P₂的坐标，由P₁，Q，R，P₂四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP，BP的值．

解答 解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P₁（x，y），满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+x}{2}+\frac{y}{2}=4}\\{\frac{y}{x-a}•（-1）=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4-a}\end{array}\right.$，即P₁（4，4-a），
易得P关于y轴的对称点P₂（-a，0），
由光的反射原理可知P₁，Q，R，P₂四点共线，
直线QR的斜率为k=$\frac{4-a}{4+a}$，故直线QR的方程为y=$\frac{4-a}{4+a}$（x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），代入化简可得3a²-4a=0，
解得a=$\frac{4}{3}$，或a=0（舍去），故P（$\frac{4}{3}$，0），故AP=$\frac{4}{3}$，BP=$\frac{8}{3}$
故选C．

点评 本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．