Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边依次为a，b，c，已知α=bcosC+

3

3

csinB．
（1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由a=bcosC+

3

3

csinB，利用正弦定理可得sinA=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，而sinA=sin（B+C），化为tanB=

3

，即可得出．
（2）利用余弦定理与基本不等式的性质可得b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2ac×

1

2

=ac，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵a=bcosC+

3

3

csinB，由正弦定理可得sinA=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，
∴cosBsinC=

3

3

sinCsinB，
∵sinC≠0，
∴tanB=

3

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．
（2）∵2²=b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2ac×

1

2

=ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c=b=2时取等号．
∴△ABC面积=

1

2

acsinB=

3

，即面积的最大值为

3

．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理与基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．