Question

若函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在[

1

3

，9]上的最小值为-1，最大值为b，且函数g（x）=

1-b

x

在（-∞，0）上是增函数，则a=

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：讨论函数f（x）=log_ax的底数的取值以确定函数的单调性，从而求最值，从而确定a，b．

解答： 解：当0＜a＜1时，f（9）=log_a9=-1，
解得，a=

1

9

，
此时，b=f（

1

3

）=log

1

9

1

3

=

1

2

；
此时函数g（x）=

1

2x

在（-∞，0）上是减函数，
不成立；
当a＞1时，f（

1

3

）=log_a

1

3

=-1，
解得，a=3，
此时，b=f（9）=log₃9=2，
此时函数g（x）=-

1

x

在（-∞，0）上是增函数，
综上所述，a=3．

点评：本题考查了对数函数的性质及其应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．