题目内容

射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为
2
3
，命中一次得3分；命中乙靶的概率为
3
4
，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量ξ表示该射手一次测试累计得分，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立．
（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得部分ξ的分布列和数学期望Eξ；
（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由．
考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（1）在甲靶射击命中记作A，不中记作
.
A
，在乙靶射击命中记作B，不中记作
.
B
，P（A）=
2
3
，P（
.
A
）=1-
2
3
=
1
3
，P（B）=
3
4
，P（
.
B
）=1-
3
4
=
1
4
，ξ的所有可能取值为0，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（2）分别求出射手选择方案1通过测试的概率和选择方案2通过测试的概率，由此得到应选择方案2通过测试的概率更大．
解答： 解：（1）在甲靶射击命中记作A，不中记作
.
A
，
在乙靶射击命中记作B，不中记作
.
B
，
其中P（A）=
2
3
，P（
.
A
）=1-
2
3
=
1
3
，
P（B）=
3
4
，P（
.
B
）=1-
3
4
=
1
4
，…（2分）
ξ的所有可能取值为0，2，3，4，
则P（ξ=0）=P（
.
A
.
B
.
B
）=P（
.
A
）P（
.
B
）P（
.
B
）
=
1
3
×
1
4
×
1
4
=
1
48
，
P（ξ=2）=P（
.
A
B
.
B
）+P（
.
A
.
B
B）=P(
.
A
)P(B)P(
.
B
)+P(
.
A
)P(
.
B
)P(B)
=
1
3
×
3
4
×
1
4
+
1
3
×
1
4
×
3
4
=
6
48
，
P（ξ=3）=P（A）=
2
3
，
P（ξ=4）=P（
.
A
BB）=P（
.
A
）P（B）P（B）=
1
3
×
3
4
×
3
4
=
9
48
．
∴ξ的分布列为：
ξ0234
P
1
48
6
48
2
3
9
48
Eξ=0×
1
48
+2×
6
48
+3×
2
3
+4×
9
48
=3．…（7分）
（2）射手选择方案1通过测试的概率为P1，选择方案2通过测试的概率为P2，P1=P(ξ≥3)=
2
3
+
9
48
=
31
48
；P2=P(ξ≥3)=P(
.
B
BB)+P(B
.
B
B)+P(BB)=
1
4
×
3
4
×
3
4
+
3
4
×
1
4
×
3
4
+
3
4
×
3
4
=
27
32
，…（9分）
因为P2＞P1，所以应选择方案2通过测试的概率更大．  …（10分）
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
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2
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