Question

已知点A（-2，0），B（1，0），平面内的动点P满足|PA|=2|PB|．
（1）求点P的轨迹E的方程，并指出其表示的曲线的形状；
（2）求曲线E关于直线l：x+y-m=0对称的曲线E′的方程；
（3）是否存在实数m，使直线l：x+y-m=0与曲线E′交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆

分析：（1）设出P点坐标，直接由|PA|=2|PB|列式求得点P的轨迹E的方程；
（2）求出（1）中圆的圆心坐标，求出其关于直线l：x+y-m=0对称点，写出曲线E′的方程；
（3）联立直线和曲线E′的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，写出根与系数关系，由以PQ为直径的圆经过坐标原点O得到

OP

•

OQ

=0．代入根与系数关系即可求得m的值．

解答： 解：（1）设P（x，y），由A（-2，0），B（1，0），且|PA|=2|PB|，
得

(x+2)2+y2

=2

(x-1)2+y2

，整理得：（x-2）²+y²=4．
∴点P的轨迹E的方程为（x-2）²+y²=4，曲线的形状是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆；
（2）设（2，0）关于直线l：x+y-m=0对称的点为P′（x′，y′），
由

2+x′ 2 + y′ 2 -m=0 y′ x′-2 =1

，得

x′=m y′=m-2

．
∴曲线E关于直线l：x+y-m=0对称的曲线E′的方程为（x-m）²+（y-m+2）²=4；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线与圆方程联立消去y得：2x²-（2m+4）x+m²=0，
∴x₁+x₂=m+2，x₁x₂=

m2

2

．
∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O，
∴OP⊥OQ，可得

OP

•

OQ

=0．
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（m-x₁）（m-x₂）=2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=0，
结合前面根与系数关系表达式，代入得：
m²-2m=0，解之得m=0或m=2．
代入方程2x²-（2m+4）x+m²=0的判别式大于0．
∴m的值为0或2．

点评：本题给出直线与圆相交于点P、Q，并且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求参数的值．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．