Question

已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1．
（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；
（2）求f（log

1

2

24）的值．

Answer 1

考点：函数的周期性,抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，运用已知表达式，以及奇函数的定义，即可得到所求表达式；
（2）由f（x+4）=f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数，将f（log

1

2

24）的自变量运用周期转化到（-1，0）的区间，再代入，即可得到所求值．

解答： 解：（1）令x∈[-1，0），
则-x∈（0，1]，
∴f（-x）=2^-x-1．
又∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=f（-x）=2^-x-1，
∴f(x)=-(

1

2

)x+1，x∈[-1，0)．
（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∴log

1

2

24=-log224∈(-5，-4)，
∴log

1

2

24+4∈(-1，0)，
∴f(log

1

2

24)=f(log

1

2

24+4)=-(

1

2

)log

1

2

24+4+1=-24×

1

16

+1=-

1

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用：求解析式，考查函数的周期性及运用：求函数值，考查运算能力，属于中档题．