Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB，acosA，bcosC成等差数列
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=

3

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）ccosB，acosA，bcosC成等差数列，则有2acosA=ccosB+bcosC化简为2sinAcosA=sinA，而sinA≠0，所以cosA=

1

2

，故可求A的值；
（Ⅱ）由（I）和已知可得sin(B+

π

6

)=

3

2

，从而可求得B=

π

6

，或B=

π

2

，从而由三角形面积公式直接求值．

解答： 解：（Ⅰ）∵ccosB，acosA，bcosC成等差数列，
∴2acosA=ccosB+bcosC
由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB
代入上式得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C）．
又B+C=π-A，所以有2sinAcosA=sin（π-A），即2sinAcosA=sinA．
而sinA≠0，所以cosA=

1

2

，由cosA=

1

2

及0＜A＜π，得A=

π

3

．
（Ⅱ）  由cosB+cosC=

3

2

，得cosB+cos(

2π

3

-B)=

3

2

，得sin(B+

π

6

)=

3

2

．
由A=

π

3

，知B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)．于是B+

π

6

=

π

3

，或B+

π

6

=

2π

3

．
所以B=

π

6

，或B=

π

2

．
若B=

π

6

，则C=

π

2

．在直角△ABC中，b=

3

3

，面积为

3

6

．
若B=

π

2

，在直角△ABC中，c=

3

3

，面积为

3

6

总之有面积为

3

6

．

点评：本题主要考察了正弦定理，余弦定理的综合应用，考察了三角形面积公式的应用，属于基础题．