Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出单调区间和最小正周期．
（2）利用第一步结论利用定义域根据函数的单调性求值域．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a=

3

sin2x-cos2x+a
=2sin(2x-

π

6

)+a                       
∴f（x）的最小正周期为：T=

2π

2

=π
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

故函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
（2）当x∈[0，

π

2

]，则：2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f（x）值域为[a-1，a+2]

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间与最小正周期，利用定义域求函数的值域．