题目内容

给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．重庆武中高2015级某学霸经探究发现：任何一个一元三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1，则f(
1
2015
)+f(
2
2015
)+…+f(
2014
2015
)=
 
．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，从而得到则f(
1
2015
)+f(
2
2015
)+…+f(
2014
2015
)的值．
解答： 解：由f（x）=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1，得，
∴f′（x）=3x2-3x-
1
2
，
∴f′′（x）=6x-3，由f′′（x）=6x-3=0，得x=
1
2
，
∴f（
1
2
）=1，
∴f（x）的对称中心为（
1
2
，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f（
1
2015
）+f（
2014
2015
）=f（
2
1015
）+f（
2013
2015
）=…=f（
1007
2015
）+f（
1008
2015
）=2

∴f(
1
2015
)+f(
2
2015
)+…+f(
2014
2015
)=2014
故答案为：2014
点评：本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），若对给定的正数K，定义fK（x）=
K  ，f(x)≤K
f(x)，f(x)＞K
，则当函数f（x）=
1
x
，K=1时，
∫
2
1
4
fK（x）dx=
 
．
已知函数f（x）=
(1-a2)x2+3(1-a)x+6
，若f（x）定义域为R，则实数a的取值范围
 
．
已知函数f（x）=x3+3xf′（0）-2ex则f′（1）等于
 
．
已知定义域为R的函数f（x）=
-2x+b
2x+1+a
是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的取值．
（Ⅱ）若对任意实数t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
已知P（-1，1），Q（2，-1），若直线PQ上的点R满足
PR
=-2
RQ
，则点R的坐标为
 
．
已知
e1
，
e2
不共线，有两个不等向量
a
，
b
，且有
a
=k
e2
+
e1
，
b
=k
e1
+1
e2
，当实数k=
 
 时，向量
a
，
b
共线．
已知3sinα+4cosα=5，则tanα=
 
．
已知函数f（x）=
1gx，x＞0
x+3，x≤0
，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（　　）
A、-3B、-lC、1D、-3或l

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