Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的取值．
（Ⅱ）若对任意实数t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知得f（0）=

-1+b

2+a

=0，f（1）=-f（-1），由此能求出a，b．
（Ⅱ）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，从而f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），由此能求出k＜-

1

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数，
∴f（0）=

-1+b

2+a

=0，解得b=1．
从而有f（x）=

-2x+1

2x+1+a

，
又由f（1）=-f（-1）知

-2+1

4+a

=-

- 1 2 +1

1+a

，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
由上式易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
又因f（x）是奇函数，
从而不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
因f（x）是减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+k，
即对一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．

点评：本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，是中档题．