Question

19．若直线2ax-by+2=0（a，b∈R）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则ab的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 化圆的方程为标准式，求出圆心坐标，由题意可得直线过圆心，得到a+b=1，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：化x²+y²+2x-4y+1=0为（x+1）²+（y-2）²=4．
∴圆心坐标为（-1，2），
∵直线2ax-by+2=0（a，b∈R）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，
∴直线2ax-by+2=0过圆心，则-2a-2b+2=0，即a+b=1．
∴当a，b大于0时，且a=b，ab有最大值为$（\frac{a+b}{2}）^{2}=（\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．