Question

在△ABC中，sinA•sinB=

BC

2AC

，AC=

5

，AB=

2

，角B为锐角．
（Ⅰ）求角B和边BC；
（Ⅱ）求sin（2C+B）的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角互化，从而解出sinB，根据B是锐角，求得B=

π

4

，根据余弦定理建立方程AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB，解出BC=3；
（Ⅱ）根据正弦定理得sinC=

1

5

，由由大边对大角判断出C是锐角，利用平方关系求出cosC，从而得到sin2C，再根据两角和的正弦公式，即可求出sin（2C+B）．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及已知得
sinAsinB=

sinA

2sinB

，
解得 sinB=

2

2

．
∵B为锐角，∴B=

π

4

．
又∵AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB，
∴BC²-2BC-3=0，
解得 BC=3．
（Ⅱ）由正弦定理

AC

sinB

=

AB

sinC

及已知得sinC=

1

5

，
∵AC＞AB，
∴角C为锐角，
∴cosC=

2

5

，
∴sin2C=2sinC•cosC=2•

1

5

•

2

5

=

4

5

，cos2C=

3

5

，
∴sin(2C+B)=

4

5

•

2

2

+

3

5

•

2

2

=

7 2

10

点评：本题考查三角恒等变换公式的灵活应用，正弦定理和余弦定理的理解与应用，属于中档题．