Question

已知函数f(x)=

ex

ax+b

，（a，b为常数，e是自然对数的底数）在x=1处的切线方程为y=

e

4

(x+1)．
（1）求a，b的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）当x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂）时，证明：x₁+x₂＞0．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由条件知函数f（x）过点(1，

e

2

)，所以：a+b=2，对f（x）求导数，利用在x=1处的切线方程为y=

e

4

(x+1)，求得a，b的值，可得函数解析式，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（-1，0）为减函数，在（0，+∞）为增函数，若f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，则必有x₁，x₂∈（-1，+∞），不妨设x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞）．证x₁+x₂＞0，即证x₂＞-x₁＞0，只需证：f（x₂）＞f（-x₁）．

解答： （1）解：由条件知函数f（x）过点(1，

e

2

)，所以：a+b=2------①
对f（x）求导数：f′(x)=

ex(ax+b-a)

(ax+b)2

，f′(1)=

eb

(a+b)2

=

e

4

------②
由①、②解得：a=1，b=1．
故：f′(x)=

xex

(x+1)2

，x≠-1
令f'（x）＞0得：x＞0，令f'（x）＜0得：x＜0，x≠-1
所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-∞，-1），（-1，0）．--------（6分）
（2）证明：由（1）知，当x∈（-∞，-1）时，f（x）＜0；当x∈（-1，+∞）时，f（x）＞0，
则f（x）在（-1，0）为减函数，在（0，+∞）为增函数，
若f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，则必有x₁，x₂∈（-1，+∞），不妨设x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞）．
若证x₁+x₂＞0，即证x₂＞-x₁＞0，只需证：f（x₂）＞f（-x₁）
即：f（x₁）＞f（-x₁），设g（x）=f（x）-f（-x），x∈（-1，0），
即g(x)=

ex

x+1

-

e-x

1-x

＞0在x∈（-1，0）上恒成立，即（1-x）e^2x-（1+x）＞0
设h（x）=（1-x）e^2x-（1+x），x∈（-1，0）h'（x）=e^2x（1-2x）-1，（h'（x））'=-4xe^2x＞0
∴h'（x）是（-1，0）上的增函数，故h'（x）＜h'（0）=0
∴h（x）是（-1，0）上是减函数，故h（x）＞h（0）=0，所以原命题成立．---------（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．