Question

已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）²+（y+1）²=12
（1）证明：不论k取任何实数，直线l与圆C总有两个交点；
（2）求直线l：y=kx+1恒过的定点；
（3）求直线l被圆C截得的最短弦长．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）直线y=kx+1的定点（0，1）在圆内，可得不论k取任何实数，直线l与圆C总有两个交点；
（2）令x=0，可得y=1，即可得出结论；
（3）过圆内定点P（0，1）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短．

解答： （1）证明：令x=0，可得y=1，∴直线y=kx+1的定点（0，1）．
∵（0-1）²+（1+1）²=5＜12，
∴（0，1）在圆内，
∴不论k取任何实数，直线l与圆C总有两个交点；
（2）解：由（1）知，直线y=kx+1的定点（0，1）；
（3）解：过圆内定点P（0，1）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，定点P（0，1）是弦|AB|的中点，由勾股定理得，|AB|=2

12-5

=2

7

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线恒过定点是关键．