题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[
π
12
 ， 
5π
12
]，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）
A、[
2
2
，
6
3
]
B、(0，
2
2
]
C、[
2
2
，1)
D、[
6
3
，1)
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由已知条件，利用根据椭圆定义推导出|AF|+|BF|=2a，再由O是Rt△ABF的斜边中点，推导出e=
1
2
sin(α+
π
4
)
，由此根据α∈[
π
12
 ， 
5π
12
]，能求出椭圆的离心率的取值范围．
解答： 解：∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′，
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|，
∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴
c
a
=
1
sinα+cosα
，
即e=
1
sinα+cosα
=
1
2
sin(α+
π
4
)
，
∵α∈[
π
12
 ， 
5π
12
]，
∴
π
3
≤α+
π
4
≤
3π
4

∴
3
2
≤sin（α+
π
4
）≤1
∴
2
2
≤e≤
6
3
．
故选：A．
点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知
1-cosx+sinx
1+cosx+sinx
=-2，则sinx的值为
 
．
已知双曲线焦点为F1、F2，虚轴的端点为P，∠F1PF2=
2π
3
，则双曲线的离心率为（　　）
A、
2
3
3
B、
2
6
3
C、
6
2
D、2
直线x=2与双曲线
x2
4
-y2=1的渐近线交于A、B两点，设P为双曲线上的任意一点，若
OP
=a
OA
+b
OB
（a，b∈R，O为坐标原点），则a、b满足的关系是（　　）
A、ab=
1
2
B、ab=
1
4
C、a2+b2=
1
2
D、a2+b2=
1
4
已知直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：ax-2y-3=0，“a=2”是“l1的方向向量是l2的法向量”的（　　）
A、充分非必要条件
B、必要非充分条件
C、充要条件
D、既非充分又非必要条件
函数y=2x3+
3x
+cosx，则导数y′=（　　）
A、6x2+x-
2
3
-sin x
B、2x2+
1
3
x-
2
3
-sin x
C、6x2+
1
3
x-
2
3
+sin x
D、6x2+
1
3
x-
2
3
-sin x
双曲线x2-
y2
9
=1的实轴长为（　　）
A、4B、3C、2D、1
曲线f（x）=x2+3x在x=-1处的切线方程为（　　）
A、x-y+1=0
B、x-y-1=0
C、2x+y+4=0
D、2x+y-4=0
已知函数f(x)=
ex
ax+b
，（a，b为常数，e是自然对数的底数）在x=1处的切线方程为y=
e
4
(x+1)．
（1）求a，b的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）当x1≠x2，f（x1）=f（x2）时，证明：x1+x2＞0．

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