Question

已知椭圆x²+

y2

4

=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x²-

y2

4

=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x₁，x₂，证明x₁•x₂=1；
（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且

PA

•

PB

≤15，求S

2 1

-S

2 2

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算

专题：压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；
（Ⅱ）利用

PA

•

PB

≤15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x₁≤2，利用三角形的面积公式求面积，从而可得S

2 1

-S

2 2

的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求S

2 1

-S

2 2

的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），
则直线AP的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或x=

4-k2

4+k2

，故x₂=

4-k2

4+k2

．
同理可得x₁=

4+k2

4-k2

．
所以x₁•x₂=1．
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
则

PA

=（-1-x₁，y₁），

PB

=（1-x₁，y₁）．
因为

PA

•

PB

≤15，所以（-1-x₁）（1-x₁）+y₁²≤15，即x₁²+y₁²≤16．
因为点P在双曲线上，所以x12-

y12

4

=1，所以x₁²+4x₁²-4≤16，即x₁²≤4．
因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x₁≤2．
因为S₁=|y₂|，S₂=

1

2

|y1|，
所以S

2 1

-S

2 2

=y22-

1

4

y12=5-x12-4x22
由（Ⅰ）知，x₁•x₂=1，即x2=

1

x1

．
设t=x12，则1＜t≤4，S

2 1

-S

2 2

=5-t-

4

t

．
设f（t）=5-t-

4

t

，则f′（t）=-1+

4

t2

=

(2-t)(2+t)

t2

，
当1＜t＜2时，f'（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，
所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．
因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，
所以当t=4，即x₁=2时，S

2 1

-S

2 2

的最小值为f（4）=0，当t=2，即x₁=

2

时，S

2 1

-S

2 2

的最大值为f（2）=1．
所以S

2 1

-S

2 2

的取值范围为[0，1]．

点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．