Question

1．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上任意一点P，作与y轴平行的直线，交两渐近线于A，B两点，若$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-\frac{a^2}{4}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 设双曲线上的P（m，n），代入双曲线的方程，由x=m与双曲线的渐近线方程联立，求得A，B的坐标，再利用数量积运算和离心率计算公式即可得出．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设双曲线上的P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1．①
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得y=$\frac{bm}{a}$，
取A（m，$\frac{bm}{a}$），
同理可得B（m，-$\frac{bm}{a}$）．
$\overrightarrow{PA}$=（0，$\frac{bm}{a}$-n），$\overrightarrow{PB}$=（0，-$\frac{bm}{a}$-n），
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-\frac{a^2}{4}$，
可得（$\frac{bm}{a}$-n）（-$\frac{bm}{a}$-n）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
化为n²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$m²=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，②
由①②可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的标准方程、数量积运算和离心率计算公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题