Question

1．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）估计该次考试的平均分$\overline{x}$（同一组中的数据用该组的区间中点值代表）；
（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16
女			50
合计

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值；
（Ⅱ）利用直方图中各小组中点乘以对应的频率，求和得平均分；
（Ⅲ）根据题意填写，计算观测值K²，对照临界值得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，得
（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，
解得a=0.005；
（Ⅱ）由频率分布直方图知各小组依次是
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，
其中点分别为55，65，75，85，95，
对应的频率分别为0.05，0.30，0.40，0.20，0.05，
计算平均分为
$\overline{x}$=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74（分）；
（Ⅲ）由频率分布直方图值，晋级成功的频率为0.2+0.05=0.25，
故晋级成功的人数为100×0.25=25，
填写2×2列联表如下，

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16	34	50
女	9	41	50
合计	25	75	100

假设晋级成功与性别无关，根据上表计算
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{10{0×（16×41-34×9）}^{2}}{25×75×50×50}$≈2.613＞2.072，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．

点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．