Question

6．已知三个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面，且均为单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]
• B． [1，$\sqrt{2}$]
• C． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]
• D． [$\sqrt{2}$-1，1]

Answer 1

分析 根据题意，可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$，结合图形求出它的最大、最小值．

解答 解：三个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面，且均为单位向量，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$=（1-x，1-y），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=1；
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（1-x）}^{2}{+（1-y）}^{2}}$=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$，

它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，
其最大值是PM=r+|OP|=1+$\sqrt{2}$，最小值是|OP|-r=$\sqrt{2}$-1，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]．
故选：A．

点评 本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．