Question

19．在平面直角坐标系xOy中，直线C₁：x=-5，圆${C_2}：{（x-2）^2}+{（y-1）^2}=1$，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C₁，C₂的极坐标方程；
（2）若直线C₃的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}（ρ∈R）$，C₂与C₃的交点为M，N，求△C₂MN的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，分别代入C₁，C₂，即可求得C₁，C₂的极坐标方程；
（2）方法一：直线C₃的极坐标方程，代入C₂，即可求得ρ₁，ρ₂，则丨MN丨=$\sqrt{2}$，由于C₂的半径为1，即可求得△C₂MN的面积；
方法二：求得直线C₃的直角坐标系方程，代入圆的方程，求得丨MN丨，根据三角形的面积公式，即可求得△C₂MN的面积．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C₁的极坐标方程为ρcosθ=-2，
C₂的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0；…5分
（2）方法一：将$θ=\frac{π}{4}（ρ∈R）$，代入ρ²-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0，得ρ²-3$\sqrt{2}$ρ+4=0，解得：ρ₁=2$\sqrt{2}$，ρ₂=$\sqrt{2}$，
故ρ₁-ρ₂=$\sqrt{2}$，即丨MN丨=$\sqrt{2}$，由于C₂的半径为1，则C₂M⊥C₂N，
△C₂MN的面积为S=$\frac{1}{2}$•丨C₂M丨•丨C₂N丨=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$．
∴△C₂MN的面积为$\frac{1}{2}$．

方法二：直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），可得直线方程为：y=x．
圆心C₂（2，1）到直线的距离d=$\frac{丨2-1丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴△C₂MN的面积S=$\frac{1}{2}$•d•丨MN丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴△C₂MN的面积为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查圆的参数方程，直线与圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．