Question

已知函数f（x）=1-

3

sin2x+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；
（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数,余弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先将解析式化简为一个角的一个三角函数名称的形式，然后求值；
（Ⅱ）利用f（A）=0求出角A，结合正弦定理，得到B的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=1-

3

sin2x+2cos2x=cos2x-

3

sin2x+2=2cos(2x+

π

3

)+2
故f（x）的最大值为4；
当2x+

π

3

=2kπ（k∈Z）时取最大值，x的集合为{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}；
（Ⅱ）由f（A）=0得2cos(2A+

π

3

)+2=0．
所以2A+

π

3

=2kπ+π．
又0＜A＜π，故A=

π

3

；
由正弦定理，b=

a

sinA

•sinB=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC．
b+c=

2

3

(sinB+sinC)=

2

3

[sinB+sin(

2π

3

-B)]
=2sin(B+

π

6

)
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]．
b+c的取值范围为（1，2]．

点评：本题考查了三角函数恒等式的化简，一般地，要求三角函数解析式的最值、周期等问题时，首先将解析式化简为一个角的一个三角函数名称的形式，然后解答．