Question

10．已知函数f（x）=x^k，x∈R，k为常数．
（Ⅰ）当k=3时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当k=1时，设函数g（x）=f（x）+$\frac{4}{f（x）}$，判断函数g（x）在区间（0，2]上的单调性，利用函数单调性的定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义进行判断；
（Ⅱ）求出函数g（x）的表达式，结合函数单调性的定义进行判断．

解答 解：（Ⅰ）当k=3时，f（x）=x³，则f（-x）=（-x）³=-x³=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）当k=1时，函数g（x）=f（x）+$\frac{4}{f（x）}$=x+$\frac{4}{x}$，
则函数在间（0，2]上的单调递减，
证明：0＜x₁＜x₂≤2，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{4}{x_1}-{x_2}-\frac{4}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{4（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数g（x）在区间（0，2]上的单调递减．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，结合函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．