Question

20．设命题p：?x∈R，x²-ax+1≥0，命题q：?x＞0，$\frac{{x}^{2}+1}{x}$＜a，若（￢p）∨q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 解法一：由（?p）∨q是真命题，得以下三种情况：（1）?p与q都是真命题，（2）?p是真命题，q是假命题，（3）?p是假命题，q是真命题，进而得到实数a的取值范围．
解法二：由（?p）∨q是真命题，即 （?p）或q至少一个真，进而得到实数a的取值范围．

解答 （本题满分10分）
解：若p真，则有△=a²-4≤0，…（2分）
即-2≤a≤2，．…（3分）
∴?P：a＞2或a＜-2，…（4分）
若q真，由$\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}≥2$，…（5分）
得a＞2．…（6分）
解法一：由（?p）∨q是真命题，得以下三种情况：
（1）?p与q都是真命题，这时符合条件的实数a＞2；…（7分）
（2）?p是真命题，q是假命题，这时有a＜-2；…（8分）
（3）?p是假命题，q是真命题，这时不存在符合条件的实数a．…（9分）
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．…（10分）
解法二：由（?p）∨q是真命题，即  （?p）或q至少一个真…（7分）
由    a＞2或a＜-2和  a＞2取并集                       …（8分）
得实数a的取值范围是 （-∞，-2）∪（2，+∞）…（10分）
注：其他解法请参照给分．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，全称命题等知识点，难度中档．