Question

1．在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记作曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点M在曲线C上，且MF₁⊥MF₂，求三角形△MF₁F₂的面积${S_{△M{F_1}{F_2}}}$．

Answer 1

分析 （1）设P（x₀，y₀），M（x，y），D（x₀，0），由M是PD的中点，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，又P在圆x²+y²=4上，可得x02+y02=4，代入化简即可得出．
（2）设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则m+n=2a=4，m²+n²=（2c）²=12，联立解得mn，即可得出．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），M（x，y），D（x₀，0），∵M是PD的中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，又P在圆x²+y²=4上，
∴x02+y02=4，即x²+4y²=4，$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
∴线段PD的中点M的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则m+n=2a=4，m²+n²=（2c）²=12，
联立解得mn=1，
∴三角形△MF₁F₂的面积${S_{△M{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$mn=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．