Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足S_n=$\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}（{n∈{N^*}}）$，且a₁-1，2a₂，a₃+7成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2log₉a_n（n∈N^*），求数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=S_n-S_n-1可得出{a_n}的递推公式，于是{a_n}为等比数列，根据a₁-1，2a₂，a₃+7成等差数列解方程计算a₁即可得出a_n；
（2）计算b_n=$\frac{1}{n}$，使用裂项法求和．

解答 解：（1）由${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}$得2S_n=3a_n-a₁，由$\left\{{\begin{array}{l}{2{S_n}=3{a_n}-{a_1}}\\{2{S_{n-1}}=3{a_{n-1}}-{a_1}（n≥2）}\end{array}}\right.$，做差得a_n=3a_n-1（n≥2），
∴数列{a_n}是公比为3的等比数列，
又a₁-1，2a₂，a₃+7成等差数列，4a₂=a₁+a₃+6，
即12a₁=a₁+9a₁+6，解得a₁=3，
∴${a_n}={3^n}$．
（2）b_n=2log₉3ⁿ=n，∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的性质，裂项法求和，属于基础题．