Question

已知与抛物线x²=4y有相同的焦点的椭圆E：

y 2

a 2

+

x 2

b 2

=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A（0，2）、B（0，-2），过（0，1）的直线与椭圆E交于M、N两点，与抛物线交于C、D两点，过C、D分别作抛物线的两切线l₁、l₂．
（1）求椭圆E的方程并证明l₁⊥l₂；
（2）求△AMN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a=2，c=1，由此能求椭圆的标准方程，设直线l：y=kx+1，联立方程组得x²-4kx-4=0，由此能求出椭圆E的方程并证明l₁⊥l₂．
（2）设直线l：y=kx+1，与

x2

3

+

y2

4

=1联立，得（3k²+4）x²+6kx-9=0，利用韦达定理和导数特物定性质，由此能求出△AMN面积的最大值．

解答： 解：（1）∵与抛物线x²=4y有相同的焦点的椭圆
E：

y 2

a 2

+

x 2

b 2

=1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为A（0，2）、B（0，-2），
∴a=2，c=1，∴b=

22-12

=

3

，
∴椭圆的标准方程为

x2

3

+

y2

4

=1，
由题意知直线的斜率存在，设直线l：y=kx+1，
联立方程组

x2=4y y=kx+1

，得x²-4kx-4=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则kl1=

1

2

x1，kl2=

1

2

x2，
∴kl1•kl2=

1

4

x1x2=

1

4

×(-4)=-1，
∴l₁⊥l₂．
（2）设直线l：y=kx+1，与

x2

3

+

y2

4

=1联立并消去y，得：
（3k²+4）x²+6kx-9=0，
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），则
x3+x4=-

6k

3k2+4

，x₃x₄=

-9

3k2+4

，
∴|x₃-x₄|=

12 k2+1

3k2+4

，
△AMN的面积为

1

2

|x₃-x₄|=

6 k2+1

3k2+4

，
令

k2+1

=t，t≥1，
则S（t）=

6t

3t2+1

=

6

3t+ 1 t

，t≥1，
记f（t）=3t+

1

t

，则f′(t)=

3t2-1

t2

，
当t≥1时，f′（t）＞0，f（t）单调递增，
∴t=1时，f（t）取最小值，S（t）取最大值，
此时k=0，即MN与x轴平行，△AMN面积的最大值为

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要注意掌握直线与圆锥曲线的位置关系的应用，