Question

8．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$
（1）求函数的单调递增区间
（2）在$△ABC中，f（A）=1，\overrightarrow{AB}•\overline{AC}=4$，求三角形的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，结合正弦函数的单调区间列出不等式解出；
（2）根据f（A）=1解出A，代入向量的数量积公式解出AB•AC，代入面积公式．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+{cos^2}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$=$sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}∴kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$
∴f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]，k∈Z$．
（2）$f（A）=sin（{2A+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}=1∴sin（{2A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，∴$A=\frac{π}{3}$．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=AB•AC•cosA=4，∴AB•AC=8，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|AB||AC|sinA=\frac{1}{2}×8×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，解三角形，属于中档题．