Question

16．复数z=log₃（x²-3x-3）+ilog₂（x-3），当x为何实数时：
（1）z∈R？
（2）z为虚数？
（3）z表示的点在复平面的第一象限？

Answer 1

分析 （1）令log₂（x-3）=0解出，（2）令log₂（x-3）≠0解出，（3）令实部，虚部都大于0解出．

解答 解：（1）解不等式x²-3x-3＞0得：x＜$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，或x＞$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$．令log₂（x-3）=0得x=4．符合题意．
∴当x=4时，z∈R．
（2）解不等式x²-3x-3＞0得：x＜$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，或x＞$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$．令log₂（x-3）≠0得x≠4．
∴当x＜$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，或x＞$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$且x≠4时，z为虚数．
（3）令log₃（x²-3x-3）＞0，log₂（x-3）＞0，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x-4＞0}\\{x-3＞1}\end{array}\right.$，解得x＞4．
∴当x＞4时，z表示的点在复平面的第一象限．

点评 本题考查了复数的分类，不等式得解法，属于基础题．