Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥BD₁；
（Ⅱ）证明：BD₁∥平面ACE．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（I）证明AC⊥BD，且AC⊥DD₁，即可证明AC⊥平面BDD₁，从而证明AC⊥BD₁；
（ II）如图所示，证明OE∥BD₁，即可证明BD₁∥平面ACE．

解答： 解：（I）证明：在正方体ABCD中，连结BD，
∴AC⊥BD，
又∵DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
又BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁；
又∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁；如图所示；
（ II）证明：设BD∩AC=O，连结OE，
在△BDD₁中，O、E分别为BD、DD₁的中点，
∴OE∥BD₁；
又∵OE?平面ACE，且BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．

点评：本题考查了空间中的垂直与平行关系的证明问题，解题时应结合图形，弄清空间中的平行与垂直的条件与结论是什么，是中档题目．