Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和S_n关于n的表达式；
（2）设数列{

1

an•an+1

}的前n项和为T_n，证明：

1

5

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

Sn

n

+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*），由此能证明数列{a_n}为等差数列，并能求出a_n和S_n关于n的表达式．
（2）由

1

(4n-3)(4n+1)

=（

1

4n-3

-

1

4n+1

），利用裂项求和法能证明

1

5

≤T_n＜

1

4

．

解答： （1）证明：由a_n=

Sn

n

+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，4为公差的等差数列．
于是，a_n=4n-3，S_n=

?a1+an?n

2

=2n²-n（n∈N^*）．
（2）证明：T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)(4n+1)

．
=

1

4

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]
=

1

4

（1-

1

4n+1

）=

n

4n+1

＜

n

4n

=

1

4

又由题意知T_n单调递增，故T_n≥T₁=

1

5

，
于是，

1

5

≤T_n＜

1

4

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．