Question

18．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=$\sqrt{5}$，D是AB边上一点，CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，则BC=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 推导出sin∠ACD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cos∠ACD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由余弦定理得AD=$\sqrt{5}$，由正弦定理，得sinA=$\frac{4}{5}$，由此利用正弦定理能求出BC的长．

解答 解：∵在△ABC中，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=$\sqrt{5}$，D是AB边上一点，CD=2，
△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$×sin∠ACD=2，解得sin∠ACD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠ACD=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=$\sqrt{5+4-2×2×\sqrt{5}×cos∠ACD}$=$\sqrt{5}$，
由正弦定理，得：$\frac{2}{sinA}=\frac{\sqrt{5}}{sin∠ACD}$，解得sinA=$\frac{2×\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，
又$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，∴BC=$\frac{ACsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．