Question

3．已知函数g（x）=1-cos（πx+ϕ）（0≤ϕ＜π）的图象过（$\frac{1}{2}$，2），若有4个不同的正数x_i满足g（x_i）=M（0＜M＜1），且x_i＜4（i=1，2，3，4），则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过5的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，作出g（x）的函数图象，根据图象的对称性可得任意两数之和与5的关系．

解答 解：∵函数g（x）=1-cos（πx+ϕ）（0≤ϕ＜π）的图象过（$\frac{1}{2}$，2），
∴2=1-cos（$\frac{1}{2}$π+ϕ）=1+sinφ，即sinφ=1，
∵0≤ϕ＜π，∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴g（x）=1-cos（πx+$\frac{π}{2}$）=sin（πx）+1，
∴g（x）的周期为2，作出g（x）的函数图象如图所示：

由图象可知g（x）的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{5}{2}$，x=$\frac{7}{2}$．
∵有4个不同的正数x_i满足g（x_i）=M（0＜M＜1），且x_i＜4（i=1，2，3，4），
∴x₁+x₂=3，x₂+x₃=x₁+x₄=5，x₃+x₄=7，x₁+x₃＜x₂+x₃=5，
x₂+x₄＞x₁+x₄＞5，
∴从4个数x_i中任选2个，共有6种选法，
其中和不超过5的选法共有4种，分别是（x₁，x₂），（x₁，x₃），（x₁，x₄），（x₂，x₃），
∴和不超过5的概率为P=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了正弦函数的性质，古典概型的概率计算，属于中档题．