Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，若线段OA的中垂线与直线y=x的交点P恰在椭圆C上，且△OAP的面积为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线1：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，点B为椭圆C的上顶点，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知A（a，0），从而可得P（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），从而得方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{2}•a•\frac{a}{2}=3}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$化简可得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0，从而可得△=（6km）²-4（3k²+1）（3m²-12）＞0，化简可得m²-4（3k²+1）＜0，再由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，y₁+y₂=$\frac{2m}{3{k}^{2}+1}$，从而可得$\frac{2-\frac{m}{3{k}^{2}+1}}{\frac{3km}{3{k}^{2}+1}}$•k=-1，从而化简可得m=-（3k²+1），从而解得．

解答 解：（1）由题意知，A（a，0），
故线段OA的中垂线为x=$\frac{a}{2}$，
故线段OA的中垂线与直线y=x的交点P（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{2}•a•\frac{a}{2}=3}\end{array}\right.$，
解得，a²=12，b²=4，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，
∴（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0，
∴△=（6km）²-4（3k²+1）（3m²-12）＞0，
即m²-4（3k²+1）＜0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
故x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{3{k}^{2}+1}$，
故MN的中点的坐标为（-$\frac{3km}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$），
而B（0，2），
故$\frac{2-\frac{m}{3{k}^{2}+1}}{\frac{3km}{3{k}^{2}+1}}$•k=-1，
故m=-（3k²+1），
故m²-4（3k²+1）＜0可化为m²+4m＜0，
解得，-4＜m＜0．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及椭圆与直线的位置关系的判断与应用．